Конформно плоское многообразие

Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.

Более формально, пусть M — псевдориманово многообразие с метрикой g. Тогда M является конформно плоским, если для каждой точки $x\in M$существует окрестность $U\ni x$ и гладкая функция $\phi$, определённая на U и такая, что метрика $e^{2\phi }\cdot g$ на $U$ является плоской (то есть кривизны $e^{2\phi }\cdot g$ обращаются в нуль на $U$).

Функция $\phi$ называется конформным фактором, она не должна быть определена на всём М. Некоторые авторы используют термин локально конформно плоское для описания понятия, введённого выше, и оставляют термин конформно плоское для случая, в котором функция $\phi$ определяется на всём М.

Примеры

• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является конформно плоским.
• Любое 2-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским.
• 3-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
• n-мерное псевдориманово многообразие для n ≥ 4 является конформно плоским, тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.

Свойства

• Всякое компактное, односвязное, конформно плоское риманово многообразие является конформно эквивалентным сфере.

Вариации и обобщения

• Псевдориманово многообразие называется конформно плоским если каждая его точка имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область псевдоевклидова пространства.